Почему я узнал про эту статью только сейчас???Одна из самых красивых таблиц в комбинаторике — это “двенадцатикратный путь” Ричарда Стэнли.По сути, это большая карта задач про шарики и урны. Есть шарики, есть урны, и мы хотим понять, сколько бывает разных способов их разложить.Но вся магия в том, что задачи меняются в зависимости от трех вопросов:— различимы ли шарики;— различимы ли урны;— есть ли ограничения: можно ли класть сколько угодно, не больше одного или обязательно хотя бы по одному.Из этого получается 12 базовых сюжетов. И почти вся начальная комбинаторика внезапно собирается в одну систему.Итак, поехали:1. Различимые шарики, различимые урны, без ограничений.Самая прямая задача: каждый шарик можно положить в любую урну.2. Различимые шарики, различимые урны, не больше одного шарика в урну.Уже появляется запрет на повторное заполнение: как рассадить разные объекты по разным местам без совпадений.3. Неразличимые шарики, различимые урны, без ограничений.Теперь важны только количества шариков в каждой урне, а не то, какой именно шарик куда попал.4. Неразличимые шарики, различимые урны, не больше одного в урну.То же самое, но теперь урна либо занята, либо нет.5. Неразличимые шарики, различимые урны, в каждой урне должен быть хотя бы один шарик.Классическая задача на распределение одинаковых объектов по подписанным ячейкам без пустых мест.6. Различимые шарики, неразличимые урны, в каждой урне хотя бы один шарик.Здесь уже важны не сами урны, а разбиение множества шариков на группы. То есть мы не нумеруем урны, а просто делим объекты на несколько непустых кучек.7. Различимые шарики, различимые урны, в каждой урне хотя бы один шарик.Почти то же самое, что и в предыдущем пункте, но теперь группы еще и “подписаны”.8. Различимые шарики, неразличимые урны, без ограничений.Можно разбивать шарики на разное число групп, не обязательно использовать все урны.9. Различимые шарики, неразличимые урны, не больше одного в урну.Если урны одинаковые, то при таком ограничении задача
